《数学分析习题课讲义（第2版）（下册）》谢惠民 | PDF下载|ePub下载

第十三章 数项级数 1
§13.1 无穷级数的基本概念 1
13.1.1 无穷级数的多种视角 1
13.1.2 思考题 5
§13.2 正项级数 6
13.2.1 比较判别法的一般形式 6
13.2.2 比较判别法的特殊形式 7
13.2.3 其他判别法 9
13.2.4 例题 13
13.2.5 练习题 17
§13.3 一般项级数 19
13.3.1 一般项级数的敛散性判别法 20
13.3.2 一般项级数的基本性质 21
13.3.3 例题 23
13.3.4 练习题 26
§13.4 无穷乘积 28
13.4.1 基本内容 28
13.4.2 例题 29
13.4.3 练习题 34
§13.5 对于教学的建议 35
13.5.1 学习要点 35
13.5.2 参考题 36
第一组参考题 36
第二组参考题 38
第十四章 函数项级数与幂级数 40
§14.1 一致收敛性及其判别法 40
14.1.1 基本内容 40
14.1.2 例题 43
14.1.3 练习题 48
§14.2 和函数与极限函数的性质 49
14.2.1 三分法与极限顺序交换原理 49
14.2.2 例题 51
14.2.3 准一致收敛与控制收敛定理 53
14.2.4 练习题 58
§14.3 幂级数的收敛域与和函数 58
14.3.1 幂级数的基本理论 58
14.3.2 思考题 59
14.3.3 例题 60
14.3.4 练习题 63
§14.4 函数的幂级数展开 65
14.4.1 Taylor级数与函数的幂级数展开式 65
14.4.2 将函数展开为幂级数的基本方法 68
14.4.3 例题 70
14.4.4 练习题 73
§14.5 对于教学的建议 74
14.5.1 学习要点 74
14.5.2 参考题 75
第一组参考题 75
第二组参考题 76
第十五章 Fourier级数 79
§15.1 Fourier系数 79
15.1.1 Fourier系数的计算公式 79
15.1.2 Fourier系数的渐进性质 81
15.1.3 Fourier系数的几何意义 82
15.1.4 例题 84
15.1.5 练习题 85
§15.2 Fourier级数的收敛性 87
15.2.1 Dirichlet核和点收敛性 87
15.2.2 Gibbs现象 89
15.2.3 Fourier级数的Cesàro求和 91
15.2.4 Fourier级数的平方平均收敛 94
15.2.5 Fourier级数的一直收敛性 95
15.2.6 例题 98
15.2.7 练习题 101
§15.3 对于教学的建议 102
15.3.1 学习要点 102
15.3.2 参考题 103
第十六章 无穷级数的应用 106
§16.1 积分计算 106
16.1.1 关于逐项积分的补充命题 106
16.1.2 例题 107
16.1.3 练习题 111
§16.2 级数求和计算 111
16.2.1 级数求和法 111
16.2.2 例题 112
16.2.3 练习题 118
§16.3 连续函数的逼近定理 119
16.3.1 核函数方法 120
16.3.2 Bernstein证明的概率解释 123
16.3.3 逼近定理的一个初等证明 125
16.3.4 逼近定理的其他证明 127
16.3.5 逼近定理的应用举例 128
16.3.6 练习题 130
§16.4 用级数构造函数 131
16.4.1 处处连续处处不可微的函数 131
16.4.2 填满正方形的连续曲线 133
§16.5 对于教学的建议 134
16.5.1 学习要点 134
16.5.2 参考题 134
第十七章 高维空间中的点集与基本定理 137
§17.1 点与点集的定义及其基本性质 137
17.1.1 点的分类及其性质 137
17.1.2 集合的分类及其性质 138
17.1.3 思考题 140
17.1.4 练习题 141
§17.2 퐑^n中的几个基本定理 141
17.2.1 综述 141
17.2.2 例题 142
17.2.3 练习题 144
§17.3 对于教学的建议 145
17.3.1 学习要点 145
17.3.2 参考题 146
第一组参考题 146
第二组参考题 146
第十八章 多元函数的极限与连续 147
§18.1 多元函数的极限 147
18.1.1 重极限 147
18.1.2 累次极限 150
18.1.3 证明函数的重极限不存在的常用方法 150
18.1.4 思考题 151
18.1.5 关于累次极限换序 151
18.1.6 练习题 152
§18.2 多元函数的连续性 153
18.2.1 定义与基本性质 153
18.2.2 紧集上多元函数的性质 158
18.2.3 多元连续函数的介值定理 160
18.2.4 向量值函数 160
18.2.5 练习题 161
§18.3 对于教学的建议 162
18.3.1 学习要点 162
18.3.2 参考题 163
第一组参考题 163
第二组参考题 164
第十九章 偏导数与全微分 167
§19.1 偏导数 167
19.1.1 偏导数的定义 167
19.1.2 偏导数与连续 168
19.1.3 高阶偏导数 168
§19.2 全微分 171
19.2.1 全微分的定义与基本性质 171
19.2.2 多元函数的连续性、偏导数存在性及可微性之间的关系 172
19.2.3 思考题 174
19.2.4 练习题 174
§19.3 复合函数求导（链式法则） 175
19.3.1 复合函数偏导数的链式法则 175
19.3.2 例题 176
19.3.3 齐次函数 180
19.3.4 练习题 181
§19.4 向量值函数的微分学定理 182
19.4.1 无穷小增量公式与拟微分平均值定理 182
19.4.2 练习题 184
§19.5 对于教学的建议 184
19.5.1 学习要点 184
19.5.2 参考题 186
第二十章 隐函数存在定理与隐函数求导 188
§20.1 一个方程的情形 188
20.1.1 隐函数存在定理 188
20.1.2 隐函数求导 190
20.1.3 思考题 191
20.1.4 练习题 191
§20.2 隐函数组 192
20.2.1 存在定理 192
20.2.2 思考题 193
20.2.3 求已知函数族所确定的隐函数组的导数 194
20.2.4 存在定理的证明 196
20.2.5 练习题 197
§20.3 变量代换问题 198
20.3.1 仅变换自变量的情形 198
20.3.2 自变量与因变量同时变换的情形 199
20.3.3 练习题 201
§20.4 隐函数及隐函数组的整体存在性 202
§20.5 对于教学的建议 203
20.5.1 学习要点 203
20.5.2 参考题 205
第一组参考题 205
第二组参考题 207
第二十一章 偏导数的应用 209
§21.1 偏导数在几何上的应用 209
21.1.1 曲线的切向量、切线与法平面 209
21.1.2 曲面的法向量、法线与切平面 210
21.1.3 曲线的夹角、曲面的夹角 211
21.1.4 练习题 212
§21.2 方向导数与梯度 212
21.2.1 方向导数 212
21.2.2 梯度 213
21.2.3 练习题 214
§21.3 Taylor公式与极值问题 215
21.3.1 Taylor公式 215
21.3.2 极值问题 218
21.3.3 最大最小值问题 219
21.3.4 练习题 223
§21.4 条件极值与条件最值 224
21.4.1 条件极值 224
21.4.2 条件最值 227
21.4.3 隐函数的极值 231
21.4.4 练习题 232
§21.5 高维Rolle定理 233
§21.6 对于教学的建议 235
21.6.1 学习要点 235
21.6.2 参考题 235
第二十二章 重积分 239
§22.1 二重积分的概念 239
22.1.1 二重积分的定义 239
22.1.2 可积函数类 240
22.1.3 思考题 242
22.1.4 练习题 242
§22.2 二重积分的计算 243
22.2.1 矩形区域上的二重积分 243
22.2.2 一般区域上的二重积分 245
22.2.3 二重积分的变量替换 247
22.2.4 练习题 250
§22.3 三重积分,n重积分 251
22.3.1 三重积分在直角坐标系中的计算 251
22.3.2 三重积分的变量替换 253
22.3.3 例题 254
22.3.4 n重积分 256
22.3.5 练习题 256
§22.4 广义重积分 258
22.4.1 广义重积分的定义 258
22.4.2 收敛性判别法 259
22.4.3 例题 260
22.4.4 练习题 261
§22.5 重积分的应用举例 262
22.5.1 几何应用 262
22.5.2 物理应用 266
22.5.3 重积分与不等式 268
22.5.4 练习题 272
§22.6 对于教学的建议 273
22.6.1 学习要点 273
22.6.2 参考题 275
第一组参考题 275
第二组参考题 277
第二十三章 含参变量积分 279
§23.1 含参变量常义积分 279
23.1.1 定义与性质 279
23.1.2 几种常用的求参变量积分的方法 281
23.1.3 练习题 285
§23.2 含参变量广义积分 285
23.2.1 一致收敛性 285
23.2.2 例题 287
23.2.3 练习题 289
23.2.4 主要性质 290
23.2.5 例题 291
23.2.6 练习题 295
§23.3 Β函数与Γ函数 296
23.3.1 Β函数 296
23.3.2 Γ函数 297
23.3.3 例题 298
23.3.4 Γ函数的特征刻画和几个重要公式的证明 301
23.3.5 练习题 304
§23.4 对于教学的建议 305
23.4.1 学习要点 305
23.4.2 参考题 306
第二十四章 曲线积分 309
§24.1 第一型曲线积分 309
24.1.1 第一型曲线积分的定义与计算 309
24.1.2 第一型曲线积分的应用 311
24.1.3 练习题 312
§24.2 第二型曲线积分 313
24.2.1 第二型曲线积分的定义和计算 313
24.2.2 两类曲线积分的关系 315
24.2.3 第二型曲线积分的应用 316
24.2.4 练习题 317
§24.3 Green公式 318
24.3.1 Green公式 318
24.3.2 平面曲线积分与路径无关的条件 322
24.3.3 练习题 324
24.3.4 等周定理 325
§24.4 连续向量场的旋转度 327
§24.5 对于教学的建议 331
24.5.1 学习要点 331
24.5.2 参考题 333
第一组参考题 333
第二组参考题 334
第二十五章 曲面积分 336
§25.1 第一型曲面积分 336
25.1.1 第一型曲面积分的定义和计算 336
25.1.2 第一型曲面积分的应用 338
25.1.3 练习 339
§25.2 第二型曲面积分 340
25.2.1 第二型曲面积分的定义和计算 340
25.2.2 两类曲面积分之间的关系 344
25.2.3 练习题 346
§25.3 Gauss公式与Stokes公式 347
25.3.1 Gauss公式 347
25.3.2 练习题 351
25.3.3 Stokes公式 352
25.3.4 练习题 354
25.3.5 퐑^3中曲线积分与路径无关的条件 355
25.3.6 练习题 357
§25.4 向量的外积,微分形式的外微分与一般的Stokes公式 357
25.4.1 向量的外积 357
25.4.2 微分形式 358
25.4.3 微分形式的外积 359
25.4.4 微分形式的外微分 361
25.4.5 变换与Jacobi行列式 362
25.4.6 重积分的变量代换 363
25.4.7 一般的Stokes公式 363
§25.5 对于教学的建议 364
25.5.1 习题课教案一例 364
25.5.2 学习要点 368
25.5.3 参考题 369
第二十六章 场论初步 371
§26.1 散度和旋度 371
26.1.1 散度 371
26.1.2 旋度 372
26.1.3 Hamilton算子▽ 374
26.1.4 几种常用的场 376
26.1.5 练习题 377
§26.2 Laplace算子与调和函数 377
26.2.1 Laplace算子 377
26.2.2 调和函数 379
26.2.3 Poisson积分公式 381
26.2.4 练习题 382
§26.3 对于教学的建议 383
26.3.1 学习要点 383
26.3.2 参考题 384
第一组参考题 384
第二组参考题 385
参考题提示 386
参考文献 400
中文名词索引 402
英文名词索引 407
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